UC知道★★★很没头绪的数学难题★★★
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/18 22:32:48
已知四个三角形的面积（即四个数值S1,S2,S3,S4）且具有这些面积S1,S2,S3,S4的四个三角形可构成四面体的四个面，问它们所构成的四面体是不是唯一的？若唯一给出证明，不唯一说明理由。
希望大虾能给出详细的证明。
我感觉应该涉及到解高次方程，关键是如何设未知数。
希望能给出详细的证明，谢谢
设四面体的四个顶点是P1, P2, P3, P4。固定P1以及P1, P2所在的直线，
P1, P2, P3所在的平面，那么 P2 有一维的自由度， P3有两维的自由度，
P4具有三维的自由度，所以一个这样的四面体对应一个6维空间的点
(P2, P3, P4)=(x2, x3, y3, x4, y4, z4)。
既然四个面积都固定，这个6维空间的点不是任意的，而是受到4个方程的限制：
Area(P1, P2, P3)=Area( x2, x3, y3) = A1
Area(P4, P1, P2)=Area( x2, x4, y4, z4) = A2
Area(P4, P2, P3)=Area( x2, x3, y3, x4, y4, z4) = A3
Area(P4, P3, P1)=Area( x3, y3, x4, y4, z4) = A4
所以这个点具有6-4=2维的自由度，就是说，限定4个面积不能确定这个四面体，
而是有无穷多个满足条件。
更具体点，固定P1是圆点(0,0,0)，P2, P3都在x,y平面，坐标是
P1(0,0,0)
P2(x2,0,0)
P3(x3,y3,0)
P4(x4,y4,z4)
面积是坐标的光滑函数，例如：
Area( P1, P2, P3) = x2*y3/2，
Area( P4, P1, P2) = sqrt(y4^2+z4^2)*x2/2
等等……
是 因为只能构成一个四面体
我觉得是不唯一的。找一个完全不对称的四面体。然后假设有一个四面体外的平面做镜面，四面体在平面中的镜像，不能通过旋转的方式与原四面体重合，所以不唯一。
如果你定义镜像也算做相同的话，我觉得也是不唯1的。固定一个三角形不变，将另外一个三角形底边固定，顶点在以原来底边为轴心的圆柱上滑行（底面圆半径=原来的高），可以保证这个三角形面积不变，滑行的过程中，是能找到另外的两个三角形面积等于原来的两个三角形（不必对应相等），这就找到了另外的解，也即四面体不唯一。
问题就是说;若一个四面体的的四个面的面