找点抽象函数的题?

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陈磊

在函数部分的综合题中我们常常遇见一类抽象函数问题。这类问题由于条件中没有给出具体的函数解析式，而只给出该函数所具备的某些性质，所以大家求解此类问题时往往感到很棘手。事实上，这类问题一般都是以基本初等函数作为模型，只要我们认真分析，善于联想，挖掘出作为模型的函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，必能为我们的解题提供思路和方法。下面略举数例加以说明。

一、以正比例函数为模型

例1. 已知是定义在R上的函数，对任意的都有，且当时，。问当时，函数是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

分析：我们知道，正比例函数满足。根据题设，我们可推知本题是以函数作为模型设计的问题。于是，我们可以判定函数的奇偶性、单调性入手来求解。

解：令，则，解得

又因为

所以

即函数为奇函数。

设，则

依题意，有

所以，

即函数在R上是减函数。

因此，函数当时有最大值，且

二. 以一次函数为模型

例2. 定义在R上的函数满足，且时，。

（1）设，求数列的前n项和；

（2）判断的单调性，并证明。

分析：对于一次函数有成立。分析本题条件可知该题是以函数为模型命制的。

解：（1）

令，则

所以，

故数列是首项为，公差为的等差数列。

因此，

（2）设，且，则

所以

于是

又

所以，而函数在R上是减函数。