求证:过球内一顶点所引的弦被该点分成的两部分的积是定值

设定点为P, 任取两条这样的弦AB, CD, 他们张成的平面截球得到一个圆. 连接AC, BD, 则由圆周角相等知两个三角形 ACP 和 DBP 相似,故 AP/PC=DP/PB,这就是 AP*PB = DP*PC.
就是说,AP*PB的值是定值.

取任意过球心且经过该点P的圆,显然球心与圆心重合,过圆心与P做圆的直径交圆与A,B,过P点做AB的垂线,交圆于C,显然PC的平方等于PA*PB(因为三角形PAC与三角形PBC相似
再在该圆上过P点做任意直线交圆与C和D,易证PA/PC=PD/PB,所以PA*PB=PC*PD,为定值,值的大小为PC的平方!!!!!!!

初3数学书里面可能就有。在这里不能画图很难说问题。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
特殊情况：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。（要理解）
例题：（图自己画）
已知：任意弦AB和CD交于圆O内的一点P。
求证:PA*PB=PC*PD。
证明：连接AC、BD。由圆周角定理的推论，得
∠A=∠D ,∠C=∠B推出 △PAC∽△PDB（相似三角形）
推出 PA：PD=PC：PB
最后推出 PA* PB=PC* PD
所以过球内一顶点所引的弦被该点分成的两部分的积是定值