（a+b+c）(1/(a+b)+1/c)>=4 (a,b,c 属于正实数)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 02:12:33
证明一下，写下步骤

(a+b+c)(1/(a+b)+1/c)
=((a+b)+c)(1/(a+b)+1/c)
=2+c/(a+b)+(a+b)/c
设x=c/(a+b)
因为(根号x-(1/根号x))^2>=0
所以x+1/x>=2
所以(a+b+c)(1/(a+b)+1/c)
=((a+b)+c)(1/(a+b)+1/c)
=2+c/(a+b)+(a+b)/c
>=4

展看，用一次均值不等式，(a+b)/c+c/(a+b)>=2,当且仅当a+b=c时取等

（a+b+c）(1/(a+b)+1/c)
= (a+b+c)(1/(a+b))+(a+b+c)(1/c)
=1+c/(a+b)+(a+b)/c+1
=2+c/(a+b)+(a+b)/c
令c/(a+b)=A 则(a+b)/c=1/A,
由于a,b,c 属于正实数，A和1/A也为正实数，
A+1/A>=2,
则（a+b+c）(1/(a+b)+1/c)>=4得证。