解析几何问题，高手请帮的忙！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 07:50:47
已知A、B、C三点不共线，A（-2，0），B（2，0），向量｜AD｜＝2，且向量AE＝1/2(向量AB＋向量AD)。①求点E的轨迹方程 ②过点A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为4/5,且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程。

①由题得|2AE-AB|=2，
设E=x+yi，AE=x+2+yi，AB=4，|2(x+2+yi)-4|=2
从而得E点方程：x^2+y^2=1(单位圆)

②容易得到直线斜率k=tan(30)=1/√3,
直线方程为y=1/√3(x+2),设椭圆方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1,将直线方程代入椭圆方程，并应用到M，N两点，使两方程相减得:
(x1+x2)/a^2+(x1+x2+4)/3b^2=0
注意到:x1+x2=-2*4/5=-8/5,(不可能大于0)
得 3a^2=2b^2;
结合b^2=a^2+4，得a^2=8,b^2=12
得椭圆方程
x^2/8+y^2/12=1