m、n都是正整数，m大于n，2006m的平方+m=2007n的平方+n。m-n是否为完全平方数，请证明。

原式易得：(m-n)[2006(m+n)+1]=n^2
假设m-n不是完全平方数，则正整数m-n>1，且其质因数分解中必有一个质因数p的指数是奇数次，所以必然有p|n，则n^2质因数分解p为偶数次，所以p|2006(m+n)+1
又因为p|(m-n)，p|n则p|(m-n)+2n=m+n。而p|[2006(m+n)+1]，故p|1。矛盾！
因此m-n一定是完整平方数。

设(a,b)=d，再设a=a1d,b=b1d，则(a1,b1)=1

原等式化成2006(a2-b2)+(a-b)=b2

(a-b)(2006a+2006b+1)=b2

提出d得(a1-b1)(2006(a1+b1)d+1)=b12d

但(2006(a1+b1)d+1)与d互质，则d|a1-b1

而后a1-b1|b12d但a1-b1和b12互质（原因：若(a,b)=1则(a±b,a)=1且(a±b,b)=1）

∴a1-b1|d

则a1-b1=d

同乘以d得a-b=d2