高二数学《直线与平面所成的角与二面角》

一、直线和平面所成的角，即直线与它在平面内的射影所成的角。射影，顾名思义，也就是相对于平面，在直线的正上方所投的光线在平面上留下的影子。数学上自然是从直线上选取一点，向平面引垂线，垂足和斜足的连线就是射影了。所以，求直线与平面所成的角一般是来解直角三角形。在具体的题目中，这条垂线甚至无须作，因为有现成的了。所以在处理此类问题中，我们常说的一句话是欲求先作或先找，这和求异面直线所成的角的情况是一样的。有些问题则是，已知直线与平面所成的角来解决其他问题，如：
例1.在三棱锥P-ABC中,PA⊥AC,PB⊥BC,AC⊥BC,PA,PBA与平面ABC所成的角分别为30度,45度,直线PC与AB能否垂直?并证明所的结论!
借助于平面α我们画出三棱锥P-ABC。
∵PA⊥AC，PB⊥BC，AC⊥BC
∴△PAC,△PBC,△ABC都是直角三角形。
作PD⊥平面α，垂足为D,则∠PAD即为PA与平面ABC所成的角，∠PAD =30度。
作PE⊥AB于E,连DE,则∠PED即为面PBA与平面ABC所成的角，∠PED=45度。
当Rt△ABC为直角等腰三角形，Rt△PAC与Rt△PBC全等时，E为AB的中点，CD⊥AB,于是有PC⊥AB.
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二、平面和平面所成的角，即二面角，比起前面的直线与平面所成的角要复杂一些。这种复杂主要表现在找到或作出这个角，由于空间位置的不规则造成的。因为通常此类问题不是单一的一个二面角而是在一个多面体中。一般来说，1.在其中一个平面中，选取一个点（有时候这个点是现成的），向两平面的交线（棱）引垂线，找到垂足后，再在另一个平面内作棱的垂线，就作出了这个二面角的平面角；2.从一个平面内的一点，向另一个平面引垂线，找到垂足（有时候这条垂线也是现成的），从垂足向棱引垂