UC知道线性代数-二次型的标准行—有点不懂（高手帮忙！）
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 05:10:02
1，把二次型化为标准型时为什么必须用可逆线性变换（变换阵为可逆）？
2，用配方法求标准型时，怎么保证配方后，所作的变换是可逆变换？
如：f(x1,x2)=x1^2-4x1x2+x2^2用配方法可变成（x1-2x2）^2-3x2^2
则y1=x1-2x2; y2=x2.这个变换阵是可逆的，可是配方的时候怎么保证它可逆？
又如:f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2-x1x2-x2x3-x1x3=1/2(x1-x2)^2+1/2(x2-x3)^2+1/2(x1-x3)^2
这个作的就不是可逆变换，所以算标准型（或规范型）吗？
2，用配方法求标准型时，怎么保证配方后，所作的变换是可逆变换？
如：f(x1,x2)=x1^2-4x1x2+x2^2用配方法可变成（x1-2x2）^2-3x2^2
则y1=x1-2x2; y2=x2.这个变换阵是可逆的，可是配方的时候怎么保证它可逆？
又如:f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2-x1x2-x2x3-x1x3=1/2(x1-x2)^2+1/2(x2-x3)^2+1/2(x1-x3)^2
这个作的就不是可逆变换，所以算标准型（或规范型）吗？
1.用可逆变换的原因是为了使A,B的秩相等，而秩相等应该可以保留一些性质，这我也不很清楚。
2.没法保证配方的变换都是可逆的，正如你的例子，这样的变换就不是可逆的，我看例题上用配方法做的都是最后做了检验的。
你的那个变换不是可逆变换，按照定义，得出的当然就不是标准型
你的A=1 -1/2 -1/2
-1/2 1 -1/2
-1/2 -1/2 1
rank(A)=2,有1个0特征值
所以若用正交矩阵作为变换矩阵，最后B=[v1
v2
0]
v1,v2是另外2个特征值
也就是不会出现3项的
化标准型的方法在http://public.whut.edu.cn/math01/jjsx/XianDai/keys/html/k06.htm
上讲了几种，课本上也有，你就根据这些方法来做，一定要用可逆变换。