若f(x)=ln(x+a)+x^2存在极值,求a的范围,并证明所有极值之和大于ln(e/2)
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/01 05:35:17
对f(x)=ln(x+a)+x^2求导得:
f'(x)=1/(x+a)+2x
令f'(x)=0 化简得到关于x的方程x^2+ax+1/2=0 [*].当方程有解时,设它的两个根是p,q,由根与系数关系:p+q=-a,pq=(1/2)
要使方程有解必须使a^2-4*1*(1/2)>=0
即|a|>=根号2;
还要使x+a=-1/(2x)>0(使对数式有意义),所以方程至少有一个负根,而由pq=1/2知道两根同号,由p+q=-a知道a必须是正数
所以a的取值范围是a>=根号2。
若a=根号2,方程[*]只有一个根(是重根)p=q=(根号2)/2,此时极值之和为f((根号2)/2)=(1/2)ln(e/2)<ln(e/2),与题目不符,是此题错漏之处。
当a>根号2时,p不等于q,极值之和
f(p)+f(q)
=ln(p+a)+p^2+ln(q+a)+q^2
=ln[(p+a)(q+a)]+p^2+q^2
=ln[pq+a(p+q)+a^2]+(p+q)^2-2pq
=ln[(1/2)+a(-a)+a^2]+(-a)^2-2*(1/2)
=ln(1/2)+a^2-1
>ln(1/2)+2-1=ln(e/2)
证完。
关于f(x)=ln(x^2)和f(x)=2ln(x)的问题?
若f(x)=ln(x+a)+x^2存在极值,求a的范围,并证明所有极值之和大于ln(e/2)
f(x) = x/(ln x) 的 反函数 是什么
设a>0,求函数f(x)=根x-ln(x+a),(x>0)的单调区间。
求函数f(x)=x^1/2-ln(x+a) (x∈(0,+∞))的单调区间.
解 设f(x)=(x+1)ln(x+1)对x大于等于0 求a 使f(x)不小于ax成立
关于f(x)=ln(-x)的问题?
f(x)=ln(a^x - b^x)的值域是大于等于0的充要条件是
设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围
★已知f(x)=(a •2^x+a-2)/(2^x+1)[x∈R],若f(x)满足f(-x)= -f(x),