求证：等边凸边形内任一点到各边距离之和为定值

可以这样想，把该点与凸边形所有的顶点都连接上，这样就把这个多边形分成了N个三角形，而该点到各边的距离恰好是这些三角形的一个高。又知道这些三角形的面积和就是这个等边多边形的面积，这些三角形的底边是定值就是多边形的边长，那么它们高的和也就是定值了。

等边凸边形的边长=a
从这点到个顶点的连线把等边凸边形分成n个三角形
则各个三角形的面积和=1/2*a*(h1+h2+..+hn)
因为等边凸边形为定值=S
则h1+h2+..+hn=2s/a为为定值

用面积证明,假设等边凸边形的边数为n,变长为a,连接凸边形内的任一点与所有顶点,将等边凸边形分成n个三角形,则等边凸边形的面积就为这n个三角形的面积之和:S=(1/2)*a*h1+(1/2)*a*h2+(1/2)*a*h3+.....(1/2)*a*hn,h1,h2...hn为点到各边的距离,所以这个距离之和就为2S/a,S为凸边形的面积.