UC知道设多项式
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 16:26:50
设多项式F(x)=a0x^n+a1*x^n-1+......+an-1*x+an的系数都是整数，并且有一个奇数A及一个偶数B使得F（A），F（B）都是奇数，求证方程F（X）=0没有整数根
声明：
(1)以下X均指整数，
(2)为简便用"="表示同余(余数相同)，数论书中记法和恒等号相同，称同余号。
强调：以下"="表示同余。对除数(模)2同余，即指奇偶性相同。
证明：
易证X^n与X奇偶性相同。数论记法：X^n=X<2>或(mod2)
以上F(X)=(a0+a1+…+an-1)X+an<mod2> (***)
题目条件为：
(1)A=1<2>,B=0<2>
(2)F(A)=F(B)=1<2>
下面将指出矛盾：
F(A)=(a0+a1+…+an-1)*1+an=1<mod2>
F(B)=(a0+a1+…+an-1)*0+an=1<mod2>
从而：a0+a1+…+an-1=0(mod2)
an=1(mod2)
从而依以上(***)式,对于任意整数X
F(X)=(a0+a1+…+an-1)X+an<mod2>=an=1(mod2)
这与F(X)=0矛盾。