一道数列题，求答案！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 19:15:42
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,,b1+b2+...b10=145,设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn)(其中a>0且a不等于1),记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与(1/3)logab(n+1)的大小并证明你的结论
1/3是log前的系数，a是对数的底数，b（n+1）是对数的真数，（n+1）是b的下标。

不用这么麻烦
Sn=loga[(1+1)(1+1/4)……(1+1/(3n-2))
(1/3)logab(n+1)=loga(1/3n+1)^(1/3) （2）
当a>1时，显然Sn>0,（2）式<0
当a<1时，显然Sn<0,(2)式>0

b1=1,b1+b2+...b10=145

等差数列求和=(b1+b10)*10/2=145

则b1+b10=29

b10=28

公差d=(28-1)/9=3

bn=b1+(n-1)d=3n-2

an=loga(1+1/(3n-2))=loga[(3n-1)/(3n-2)]

1/3logab(n+1)=1/3loga(3n+1)

用数学归纳法就可以了

结论是
当a>1时Sn>(1/3)logab(n+1)
当0<a<1时Sn<(1/3)logab(n+1)

首先证明当a>1时Sn>(1/3)logab(n+1)

根据数学归纳法
首先S1=a1=loga2=1/3loga8 logab(2)=1/3loga4

S1>logab(2)

假设当n=k时Sk>1/3logab(n+1),那么
当n=k+1时

S(k+1)=Sk+a(k+1)
>1/3logab(k+1)+loga[(3k+2)/(3k+1)]
=1/3loga(3k+1)+loga[(3k+2)/(3k+1)]
=1/3loga(3k+1)+loga(3k+2)-loga(3k+1)
=1/3loga(3k+4)+[1/3loga(3k+1)+loga(3k+2)-loga(3k+1)-1/3loga(3k+4)]
=1/3loga(3k+4)+[1/3loga[(3k+1)/(3k+4)]+loga[(3k+2)/(3k+