abcd是面积为a平方的四边形,连各边中点,得a1b1c1d1,再连中点,得a2b2c2d2,则AnBnCnDn面积为

首先确定A1B1C1D1为平行四边形,证明很简单,连接四边形两条对角线,然后根据中位线,对边平行就出来了.后面的就很简单了,里面的小平行四边形的面积均为外面大平行四边形面积的一半(把四边的中点一连,里面8个三角形全等).
现在剩下的就是求最大的那个平行四边形的面积,把四边形的两条对角线一连,由于有平行,所以里面有很多相似三角形,两条对角线把空余的部分分成了8个三角形,每个三角形面积都为与其相似的大三角形面积的1/4,记4个大三角形的面积分别为S1,S2,S3,S4,那么8个小三角形的总面积为
S1/4+S1/4+S2/4+S2/4+S3/4+S3/4+S4/4+S4/4=(S1+S2+S3+S4)/2=a^2/2
所以大平行四边形的面积为a^2/2(a^2表示a的平方)
那么S[AnBnCnDn]=a^2/2^n