已知实数a、b、c,满足a>b>c，且有a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=1,求证:1<a+b<4/3

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 20:15:40
过程详细点...

a+b=1-c,a^2+b^2=1-c^2,因为a^2+b^2>(a+b)^2/2(等号取不到),所以1-c^2>(1-c)^2/2,所以-1/3<c<1,a+b=1-c<4/3.因为1=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2,所以ab+bc+ac=0,ab+(1-c)c=0,若0=<c<1,ab<=0,但a>b>c>0,ab>0,矛盾,c<0,a+b=1-c>1

由a+b+c=1得a+b=1-c
a^2+b^2+c^2=1
即（a+b)^2-2ab+(1-a-b)^2=1即2（a+b)^2-2（a+b）=2ab
令t=a+b
所以2t^2-2t=2ab<0.5（a+b)^2=0.5t^2
即1.5t^2-2t<0得0<t<4/3
若c>0则ab>0得2t^2-2t=2ab〉0
t>1即a+b>1与假设矛盾（舍）
若c<0则a+b>1
综上得：1<a+b<4/3