一道关于数列有界性的题目

首先先算pi(n)=a1a2...an=(2007^n)*(1/2)^(0+1+2+...+(n-1))=(2007^n)*(1/2)^(n(n-1)/2)
再算Tn=pi(1)pi(2)...pi(n)=(2007^x)*((1/2)^y)
其中，x=1+2+3+...+n=n(n+1)/2 y=sigma(n(n-1)/2)=1/2*(1+2^2+3^2+...+n^2)-1/2*(1+2+3+...+n)=1/12*n(n+1)(2n+1)-1/4*n(n+1)=1/6*n(n+1)(n-1) (sigma表示从1到n求和)
为计算简便，算 ln(Tn)=x*ln(2007)+y*ln(1/2)=n(n+1)/2*ln(2007)+1/6*n(n+1)(n-1)*ln(1/2)
然后对ln(Tn)求导得到(ln(Tn))'=1/2*ln(2007)*(2n+1)+1/6*ln(1/2)*(3n^2-1)
算(ln(Tn))'=0,即ln(1/2)/2*n^2+ln(2007)*n+ln(2007)/2-1/6*ln(1/2)=0
由求根公式可得n的正数解为22.445左右，最接近的为n=22

注：最后一步也可用在初等数学范畴内的平均值不等式来做，但系数配起来太麻烦，功效和用求导是一样的；最后的二次方程求根公式的计算应当用计算器，否则靠手算绝对算不出来（除非去展开，但没必要），即使使用平均值不等式，最后还是要牵涉到对数的运算，计算器的运算无论如何绕不开。

计算、验证加打字用了30分钟。。。好辛苦啊。。。