任意矩阵都可以经过线性变换变为阶梯型矩阵

不知道你要问的是这个结论是否正确，还是怎么证明。回答你第一个问题。

初等变换在矩阵中的应用，化成阶梯型，矩阵的秩就是非零行的个数

你的问题，问什么一定能化成阶梯型。

首先，假设a11不等于0，否则的话总是可以通过互换两行或两列使得a11不等于0。

第二，消去第一行。
ri+kr1意思就是说用适当的数k乘以第一列加到第i列，这样总是可以选择适当的k，使得k*a11+ai1=0，这是第三类初等变换。

第三，消去第二行
注意到原来的矩阵除去第一行，第一列是一个n-1*n-1的行列式，用归纳法，它可以消去它的第一行。

所以，用高斯消去法，一定可以把一个矩阵化成阶梯型。