函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x) ，求证f(x)奇偶性~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/11 04:23:51
我最多算出来它有周期性T=6
-.-...
这道题有两小问：
1.证明COS лX/3 = F(X)成立
2.证明f(x)是否都是偶函数

那位大大会的，帮忙一下，要稍微详细一点点的过程就行了，我就是没头绪... - -

1.证明：
当COS ∏x/3 = f(x)时
f(x+2)
=cos(∏(x+2)/3)
=cos(2∏/3+∏x/3)
=(-1/2)cos∏x/3-(√3/2)sin∏x/3

f(x+1)-f(x)
=cos(∏(x+1)/3)-cos∏x/3
=cos(∏/3+∏x/3)-cos∏x/3
=(1/2)cos∏x/3-(√3/2)sin∏x/3-cos∏x/3
=(-1/2)cos∏x/3-(√3/2)sin∏x/3

所以满足f(x+2)=f(x+1)-f(x)
即f(x)=cos∏x/3时成立

2.不是（题目没问f(x)的奇偶，而是问是不是一定是偶函数，其实应该奇偶都有可能）
可以举出反例，比如f(x)=sin∏x/3的时候，是奇函数，但也符合f(x+2)=f(x+1)-f(x)
f(x+2)
=sin(∏(x+2)/3)
=sin(2∏/3+∏x/3)
=(-1/2)sin∏x/3+(√3/2)cos∏x/3

f(x+1)-f(x)
=sin(∏(x+1)/3)-sin∏x/3
=sin(∏/3+∏x/3)-sin∏x/3
=(1/2)sin∏x/3+(√3/2)cos∏x/3-cos∏x/3
=(-1/2)sin∏x/3-(√3/2)cos∏x/3