21,已知四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过P作MN‖AD,EF‖CD,分别交AB,CD,AD,BC于点M,N,E,F,

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 11:23:14
21、已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN‖AD，EF‖CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设 ＝PM•PE， ＝PN•PF，解答下列问题：
（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断 与 的大小关系，并说明理由；
（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由。

解：（1）∵ABCD是矩形，
∴MN∥AD，EF∥CD，
∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形，
∴a=PM•PE=S矩形PEAM，b=PN•PF=S矩形PNCF，
又∵BD是对角线，
∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC，
∵S矩形PEAM=S△BDA-S△PMB-S△PDE，
S矩形PNCF=S△DBC-S△BFP-S△DPN，
∴S矩形PEAM=S矩形PNCF，
∴a=b；
（2）成立，理由如下：
∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD
∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形
根据（1）可证S平行四边形PEAM=S平行四边形PNCF，
过E作EH⊥MN于点H，
则sin∠MPE=EH=PE•sin∠MPE，
∴S▱PEAM=PM•EH=PM•PEsin∠MPE，
同理可得S▱PNCF=PN•PFsin∠FPN，
又∵∠MPE=∠FPN=∠A，
∴sin∠MPE=sin∠FPN，
∴PM•PE=PN•PF，
即a=b；

①：当四边形ABCD是矩形时，易证⊿BMP∽⊿DNP，则BF：PF＝DE：PE，即BF×PE＝DE×PF
通过矩形BFPM、DEPN易证PM＝BF，DE＝PN，所以PM×PE＝PN×PF，即a=b
②：当四边形ABCD是平行四边形时，且∠A为锐角时，易证⊿BMP∽⊿DNP，仍然易证明BF×PE＝DE×PF
通过平行四边形BFPM、DEPN易证PM＝BF，DE＝PN，所以PM×PE＝PN×PF，即a=b

简单啊，PF/PE=BP/PD,PN/PM=PD/PB,所以PF*PN/PE*PM=1.说以他们相等，第2题同第一题。