一个函数的反函数等于它的导数，求证这样的函数不止一个

回答者：next_to_none - 高级魔法师 六级 5-21 15:59 的回答是错的哦。

“函数反函数的导数等于原函数导数的倒数”确实有这个原理，但是要注意自变量要随着反函数而由x变成y哦。
所以你的做法是错的，得到的结果也很容易验证是错的。

我来给出一个解：

构造幂函数
f(x)=p*x^q
对应的导函数和反函数为：
f'(x)=p*q*x^(q-1)
f-1(x)=p^(-1/q)*x^(1/q)
令导函数和反函数恒等，得到指数和系数均对应相等：
指数相等： q-1=1/q
即 q^2-q-1=0
q=(1±根号5)/2

分开讨论：

[1]
q1=(1+根号5)/2 这就是黄金分割数约为1.618
它的性质是 1/1.618=0.618

将q1代入后 考虑系数相等: p*q1=p^(-1/q1)
考虑q1黄金分割数的性质，得到 p^(1+1/q1)=1/q1
p^q=1/q
p=(q-1)^(1/q)
p=(q-1)^(q-1)
p约等于 0.618^0.618

于是我们整理出了一个符合条件的解，为：
f(x)
=p*x^q
=[(根号5-1)/2]^[(根号5-1)/2]*x^[(1+根号5)/2]
约=0.618^0.618*x^1.618

[2]
q1=(1-根号5)/2 q1约等于 -0.618
下面的计算与[1]类似
不过最后算出来的结果 要对 一个负数(-0.618)开0.618次方，这个是没有意义的。所以[2]中的解舍掉。

综上，我们得到了一个符合题意的解。
f(x)
= [(根号5-1)/2]^[(根号5-1)/2]*x^[(1+根号5)/2]
约=0.618^0.618*x^1.618

设y=x^n (x>0)
其反函数为y=x