任意一个向量都可以由什么向量组线性表示

平面任意向量i=ax+by
a、b为任意常数
x、y分别为横、纵坐标向量（均要带向量符号）
空间向量依此类推

4.1 向量组的线性相关性

1、基本定义

定义1：（向量）n个数组成的有序数组 称为n维向量。

数 称为向量的第 个分量。

分量为实数（复数）的向量为实（复）向量。

若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组。

定义2：（线性组合）给定向量组 ，对于任何一组实数 ，向量 称为向量组 的线性组合， 称为这一组合的系数。

定义3：（一个向量由一向量组线性表示）给定向量组 和向量b，如果存在一组实数 ，使得 ，则向量b是向量组 的线性组合，这时向量b能由向量组 线性表示。

定义4：（一向量组由另一向量组线性表示）给定向量组 和 ，如果向量组 中的每一个向量都可以由向量组 线性表示，则称向量组 可以由向量组 线性表示。

定义5：（向量组等价）如果向量组 和 可以相互线性表示，则称向量组 和向量组 等价。

定义6（线性相关与线性无关）给定向量组 ，如果存在一组不全为零的实数 ，使得 ，则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关。

定义7：（最大线性无关组）设有向量组 ，如果在 中可以选出 个向量 ，满足：

1） 向量组 线性无关；

2） 向量组 中任意 个向量（如果有的话）都线性无关。

则称 组是向量组 的一个最大线性无关组，简称 的最大无关组。

定义8：（向量组的秩）向量组 的最大无关组所含向量的个数称为向量组 的秩。

2、基本理论（定理）

定理1：向量b能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩。即方程组 有解。

定理2：向量组 线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可以由其余 个向量线性表示。（注意不是任意一个向量可以由其余 个向量线性表示）

定理3：向量组 线性相关的充分