高一三角函数的题目

答案为[(根号5-1)/2]*R长度单位

解：设P在弧AB上，Q与M（N）分别在OA与OB上；延长PQ交园O于点S，过O作OC垂直于SP，垂足为C，设OC=MQ=Rsin（t），t=角CPO，0度<t<45度，则由勾股定理，得：PC=根号下（PO^2-OC^2)=根号下{R^2-R^2*[sin(t)]^2}=R*cos(t),所以QP=CP-CQ=R*cos(t)-R*sin(t)(因为CQ=OQ）,所以L^2=MQ^2+PQ^2=R^2*[cos(t)-sin(t)]^2+R^2*[sin(t)]^2
=R^2*{1-sin(2t)+[1-cos(2t)]/2}
=3R^2/2-(R^2/2)*[cos(2t)+2sin(2t)]
欲求L^2的最小值，即求cos（2t)+2sin(2t)的最大值，因为cos（2t)+2sin(2t)=(根号5)*sin(2t+arctan0.5),0度<t<90度, 且0度<arctan0.5<arctan1=45度 所以0度<2t+arctan0.5<135度，所以sin(2t+arctan0.5）的最大值为1，即得cos（2t)+2sin(2t)的最大值为根号5，所以L的最小值=根号下[3R^2/2-(R^2/2)*根号5] =[(根号5-1)/2]*R长度单位

本题通过几何关系选取合适的变量建立函数关系求目标的最值，其中主要考察了弦函数二倍角公式的运用与三角函数的性质