设函数f(x)的定义域是R，对任何a,b∈R，都有f[af(b)]=ab，求|f(2000)|

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 05:09:38
有些难度的数学题，可猜出值为2000，解题方向应该是证明f(x)=±x,可是就是证不出来，请高手帮忙。

令f(b)=c，写着方便
f[a*f(b)]=f(a*c)=a*b
a=1：f(c)=b
a=-1：f(-c)=-b
a=0：f(0)=0
f(x)是奇函数
若c>0：
a>1：a*c>c：f(a*c)=a*b>b=f(c)；
a<1：a*c<c：f(a*c)=a*b<b=f(c)；
f(x)是增函数
若c<0：
a>1：a*c<c：f(a*c)=a*b>b=f(c)；
a<1：a*c>c：f(a*c)=a*b<b=f(c)；
f(x)是减函数
f(b)=c,f(c)=b
反证法：
1.增函数：假设b>c,f(b)>f(c),即c>b,与假设相反
b=c
f(b)=b
f(x)=x
2.减函数：假设b>0>-c,f(b)<f(0)<f(-c),即c<0<-b，与假设相反
b=-c
f(b)=-b
f(x)=-x
综合：f(x)=±x
|f(2000)|=|±2000|2000