M为三角形ABC的边BC上一点

解：设AM分两个三角形面积分别为S1和S2，AM＝H,M分BC为x，y两段，
那么R1＝S1/（c+x＋H）＝R2＝S2/(b+y+H),得到
S1：S2＝（c+x＋H）：（b+y+H)
又因为三角形ABM和三角形AMB等高，其面积比S1：S2＝x：y，
所以，（c+x＋H）：（b+y+H)＝x：y，化简的x：y＝（c+H)：(b+H）
又x＋y＝a，所以，x＝a(c+H)/(b+c+2H)，y=a(b+H)/(b+c+2H)
三角形ABM面积为0.25【（c+H)/(b+c+2H)】sqrt（a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2)
再次利用海伦公式三角形ABM面积为0.25sqrt（c^4+x^4+H^4-2c^2x^2-2H^2c^2-2x^2H^2)
利用上两式相等得化简后得：
2（c+H)^2H^2=(c+H)^2(b+c)^2-(b+c+2H)^2,
代入x=a(c+H)/(b+c+2H)，化简得
H＝sqrt[(b+c)^2-a^2)/2]
证毕(sqrt表示括号内表达式得算术平方根）

用面积法可以求出内切圆半径，先介绍一下海伦公式：假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
又假设内切园半径为R，那么三角形面积S=1/2R*(a+b+c),因为内切圆半径与三条边垂直，故可以把三角形面积分成三块来算。
由上可以算出R，根据内切圆半径相等就可以知道AM和a，b，c的关系了....

用面积法可以求出内切圆半径

呵呵，有高手回答的那么好了，我就不用浪费了，呵呵，其实很简单的，你看了就很容易明白了！！

上面回答都很正确啊！其实说白了就是利用了面积法

里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
又假设内切园半径为R，那么三角形面积S=1/2R*(a+b+c),因为内切圆半径与三条边垂直