一个任意△ABC,∠A为60度角.I为△ABC的内心,过I做IE//AC交AB于E.在BC上取一点D,使得CD=2BD.求证:∠B=2∠DE

引理:在三角形BDE中,若ED^2=BD^2+BD*BE则∠B=2∠DEB(常用结论)
引理证明:延长DB至点T使得BT=BE
因为ED^2=BD^2+BD*BE=BD(BD+BE)=BD(BD+BT)=BD*DT
又因为∠BDE=∠EDT
所以△BDE与△EDT相似，所以∠DEB=∠T
因为BE＝BT所以∠T＝∠BEF＝1/2∠B
所以∠B=2∠DEB
所以证明原命题只需证明ED^2=BD^2+BD*BE
因为ED^2=BD^2+BE^2-2BD*BEcos∠B（余弦定理）
所以证明原命题只需证明ED^2=BD^2+BD*BE＝BD^2+BE^2-2BD*BEcos∠B即BE=BD(2cos∠B+1)
下面证明BE=BD(2cos∠B+1)
证明：在三角形ABC中，设AB=c AC=b BC=a
连接BI，延长BI交AC于点G
设B到AC距离为h,I到AC距离为r(即内切圆半径）
因为2S△ABC=(a+b+c)r=bh
又因为IE//AC
所以BE/c=BI/BG=(h-r)/h=1-(r/h)=1-[b/(a+b+c)]
所以BE=c*(a+c)/(a+b+c)
因为∠A＝60所以a^2=b^2+c^2-2bc*cos∠A=a^2=b^2+c^2-bc
所以cos∠B=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(b^2+c^2-bc+c^2-b^2)/2ac=(2c-b)/2a
因为BD=BC/3
所以BD(2cos∠B+1)＝(a/3)*[(2c+a-b)/a]=(2c+a-b)/3
因为BE=c*(a+c)/(a+b+c)
所以证明ED^2=BD^2+BD*BE等价于证明(2c+a-b)/3＝c*(a+c)/(a+b+c)<=>(2c+a-b)(a+b+c)=3c*(a+c)
因为(2c+a