一道高一数学问题,答的好的加分

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 18:14:23
已知ai,bi(i=1,2,3)为实数.且a12－a22－a32与b12－b22－b32中至少有一个是正数.
求证:关于x的一元二次方程:x2+2(a1b1－a2b2－a3b3)x+(a12－a22－a32)(b12－b22－b32)=0必有实根.
大鸡蛋DD,你的第一个假设中能不能不用排序不等式,而且你这样做好象是错的.

因为(a1²-a2²-a3²)与(b1²-b2²-b3²)至少有一个为正数
不妨设a1²-a2²-a3²>0
构造函数f(x)=(a1²-a2²-a3²)x²+2(a1b1-a2b2-a3b3)x+(b1²-b2²-b3²)
这是一个二次函数，它的图像开口向上
f(x)=(a1²x²+2a1b1x+b1²)-(a2²x²+2a2b2x+b2²)-(a3²x²+2a3b3+b3²)
=(a1x+b1)²-(a2x+b2)²-(a3x+b3)²

令x=-b1/a1，f(-b1/a1)<=0
因为抛物线开口向上，若存在一点f(x)<=0，则抛物线与x轴必有交点
即f(x)=0有解，所以f(x)=0的判别式大于或等于0
即4(a1b1-a2b2-a3b3)²-4(a1²-a2²-a3²)(b1²-b2²-b²)>=0
从而证得，方程x²+2(a1b1-a2b2-a3b3)x+(a1²-a2²-a3²)(b1²-b2²－b3²)=0的判别式也大于或等于0
故该方程有实根～

1.若a12－a22－a32与b12－b22－b32都是正数.
[a12+(－a22)=(－a32)]*[b12+(－b22)+(－b32)]-(a1b1－a2b2－a3b3)^2结果中恰可消去平方项,再用排序不等式可知该式<=0
对方程求△,则△>=0,即有实根
2.若a12－a22－a32与b12－b22－b32一正一负
则设f(x)=x2+2(a1b1－a2b2－a3b3)x+(a12－a22－a32)(b12－b22－b32)
有f(0)<0<