三角形ABC中,AB=2 ,BC=1 ,AC=3^1/2，在边AB, BC, CA上取D, E ,F,三角形DEF为正三角形,设角CFE=β。

易得△ABC为直角三角形,∠C=90,∠A=30
设△DEF的边长为a
则CF=acosβ,
∠ADF=180-(∠A+∠AFD)=180-(∠A+180-∠EDF-∠CFE)
=30+β
因为a/sinA=AF/sin∠ADF
所以AF=2asin∠ADF=2asin(30+β)
又AF+CF=AC
所以acosβ+2asin(30+β)=√3
所以a=√3/[cosβ+2sin(30+β)]=√3/[cosβ+cosβ+√3sinβ]
=√3/[2cosβ+√3sinβ]
设sinα=2/√7,cosα=√3/√7,α为锐角
则 a=√3/[√7(sinαcosβ+cosαsinβ)]=√3/[√7sin(α+β)]
显然当α+β=∏/2时 a最小(注:α不超过60,β不超过90)
所以sinβ=sin(∏/2-α)=cosα=√3/√7

设正三角形DEF边长为a
EC = asinβ
BF = acosβ
则
AF = √3 - BF = √3 - acosβ
而∠ADF = π - ∠A - ∠DFA = ∠DFE + β - ∠A = π/6 + β
由正弦定理
AF/sin∠ADF = DF/sin∠A = 2DF = 2a
√3 - acosβ = 2a sin(π/6 + β) = acosβ + a√3 * sinβ
a√7[(2/√7)cosβ + (√3/√7)sinβ] = √3
sin(β+θ)=√3 / (a√7)
其中cosθ = √3/√7 , sinθ = 2/√7
若a最小
则√3 / (a√7)取到最大值
故√3 / (a√7) = 1
此时β + θ = π/2
sinβ = cosθ = √3/√7
结论:
当sinβ = √3/√7时,正三角形DEF边长最小,最小值为√3/√7