f(a)=(√3sinα)/(2+√3cosα) 的取值范围？

最不动脑筋的办法，求导，你学过么？

没学过的话就用几何的办法吧：
圆的方程 (x-2)^2 + y^2 = 3
x = 2+√3cosα
y = √3sinα

f(α) = y/x
也就是过原点过(x,y)点的直线的斜率
(x,y)在圆周上，
过原点做两条切线就知道了，
圆半径为 √3 ，原点到圆心的距离是 2
由勾股定理，切线长为 1
所以 x 轴与切线的夹角为 π/3
斜率分别是 ±√3/2
所以取值范围是 [√3/2 ，√3/2]