a b c 为正实数 a+b+c=1求证 根号a+根号b+根号c<=根号3

对于正实数x,y,z,满足不等式:
(x+y+z)^2<=3(x^2+y^2+z^2).
(这是柯西不等式的直接推论!)
所以:
(根号a+根号b+根号c)^2<=3(a+b+c)=3.
所以:
根号a+根号b+根号c<=根号3.

(a^1/2 b^1/2 c^1/2)^2=a b c 2[(ab)^1/2 (bc)^1/2 (cd)^1/2]<=1 2[(a b)/2 (b c)/2 (c a)/2]=3
故：a^1/2 b^1/2 c^1/2<=3^1/2
原式得证
（手机写的，粗糙了点）