UC知道关于重积分、曲线积分的问题？
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/07 10:50:03
1、∫（0，1）dx∫（0，x）dy∫（0，y）sinz/1-z dz=？
∫（0，1） 表示下限为0上限为1
2、计算∯(xdydz+ydzdx+zdxdy)/(x^2+y^2+z^2)^3/2
其中曲面为球面x^2+y^2+z^2=a^2的外侧。用定义和高斯公式两种方法求解
第一题 交换后的区域是向xoz面投影吗？
为什么是z<y<1，我觉得是z<y<x
第二题 高斯公式 我算出总是 dp/dx+dq/dy+dr/dz=0
P = x/a^3
Q = y/a^3
R = z/a^3
怎么来的? a^3可以直接代(x^2+y^2+z^2)^3/2 ？
回答的再加分！谢谢~
∫（0，1） 表示下限为0上限为1
2、计算∯(xdydz+ydzdx+zdxdy)/(x^2+y^2+z^2)^3/2
其中曲面为球面x^2+y^2+z^2=a^2的外侧。用定义和高斯公式两种方法求解
第一题 交换后的区域是向xoz面投影吗？
为什么是z<y<1，我觉得是z<y<x
第二题 高斯公式 我算出总是 dp/dx+dq/dy+dr/dz=0
P = x/a^3
Q = y/a^3
R = z/a^3
怎么来的? a^3可以直接代(x^2+y^2+z^2)^3/2 ？
回答的再加分！谢谢~
原来写的太急了,弄错了
1)被积区域是个三棱锥
交换积分区域
0<x<1,0<y<x,0<z<y可变为
0<z<1,z<x<1,z<y<x
故原式=∫(0,1)dz∫(z,1)dx∫(z,x)sinz/(1-z) dy
=∫(0,1)dz∫(z,1)dx (x-z)sinz/(1-z)
=∫(0,1)dz [(x²/2 - zx)sinz/(1-z)]|(z,1)
=∫(0,1)dz (1-z)sinz/2
=[(-cosz + zcosz - sinz)/2] |(0,1)
=(-cos1 + 1cos1 - sin1)/2 - (-cos0 + 0cos0 - sin0)/2
=-(sin1)/2 + 1/2
=(1-sin1)/2
2)∯(xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x²+y²+z²)^3/2
=∯xdydz/a³ + ∯ydzdx/a³ + ∯zdxdy/a³
对积分∯xdydz/a³
∯xdydz/a³ = ∬[S1]xdydz/a³ + ∬[S2]xdydz/a³
其中曲面S1为球面在yoz平面右边的部分
曲面S2为球面在yoz平面左边的部分
则曲面S1的法向量与x轴正向夹角为锐角
曲面S2的法向量与x轴正向夹角为钝角
则∬[S1]xdydz/a³
=∬[D1]√(a²-y²-z²)dydz/a^3
=∫(0,2π)dθ∫(0,a)√(a²-r²) rdr/a^3
= 2π/3
同理
∬[S2]xdydz/a³
= -W