正定矩阵

只要你搞清一个等价关系就行了，最好用反正法证一下。

在实数范围内：

A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x，都有x[T]Ax>0,x[T]表示A的转置。

因此有，x[T]Ax>0，x[T]Bx>0，相加得：x[T](A+B)x>0
即得A+B也为正定矩阵。

在复数范围内：

A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x，都有x[H]Ax>0,x[H]表示A的共轭转置（称为A的Hemite矩阵）。

因此有，x[H]Ax>0，x[H]Bx>0，相加得：x[H](A+B)x>0
即得A+B也为正定矩阵。

搞清楚正定的意义就很容易证明了。
矩阵A是正定的 等价于 对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;
如果A、B都是正定的，那么对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;a'Ba>0;
显然对于任意非零向量a,就有a'(A+B)a>0;
所以A+B也是正定的！