设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={ye^[-(x+y)],x.>0,y>0;0其他} 求X与Y相关系数ρXY

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 10:38:58
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={ye^[-(x+y)],x.>0,y>0;0其他} 求X与Y相关系数ρXY
谢谢

EX=∫[0,+∞]xe^(-x)dx∫[0,+∞]ye^(-y)dy=1.

E(X^2)=∫[0,+∞]x^2e^(-x)dx∫[0,+∞]ye^(-y)dy=2.

EY=∫[0,+∞]e^(-x)dx∫[0,+∞]y^2e^(-y)dy=2.

E(Y^2)=∫[0,+∞]e^(-x)dx∫[0,+∞]y^3e^(-y)dy=6.

E(XY)=∫[0,+∞]xe^(-x)dx∫[0,+∞]y^2e^(-y)dy=2.

DX=E(X^2)-(EX)^2=1,DY=E(Y^2)-(EY)^2=2.

Cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)=0,

ρXY=Cov(X,Y)/[√DX√DY]=0.

只要算出E(XY),E(X),E(Y)就可以知道Cov(X,Y)=0,ρXY=0.一开始没注意，都求出来了，不删了，都放着吧.

这个题也可以先求边缘密度fX(x),fY(y),因为
f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X,Y相互独立，所以ρXY=0.