为什么说半正定矩阵的行列式大于等于0?

因为半正定矩阵的特征值>=0
半正定矩阵是对称矩阵 所以可以对角化(定理)
A=P*B*P^-1
|A|=|B|>=0
即证

给你看一下！！

不知道怎么样，有没有你要的东西？

一． 定义

因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:

设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。

相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：

令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。

例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。

二． 正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

证明：若 ， 则有

∴λ＞0

反之，必存在U使

即

有
这就证明了A正定。

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。

2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

证明：A正定

二次型 正定

A的正惯性指数为n

3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。

证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使

令 则
令 则
反之，
∴A正定。

同理可证A为半正定时的情况