三角形内某点与顶点连线3条线的夹角是都是120度,这个点叫什么点？

费马点定义

在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。

在平面三角形中:

(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.

(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合

（1） 等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。
（2） 当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。

证明

(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度

(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠APC=120度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。

(3)PA+PB+PC最短

在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。

费马点

此点和三个顶点的距离和最小