求证：根号二不是有理数

假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2
所以m是偶数
假设m=2k，那么2*n^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，与原设相矛盾
故根号2是无理数

假设 根号2是有理数，
设 根号2=p/q,
其中，p,q是正的自然数且互质。
则由p²=2q²知
p²可以被2整除，所以p也能被²整除（反证法可以证得：如果p不能被2整除,则p²也不能被2整除，得证）
设p=2n(n是正的自然数)
则2q²=p²=4n²,q²=2n²
这样 q²也能被2整除，q也能被2整除
因此p与q有公因子2
这与p,q互质相矛盾，假设不成立
所以证明了根号2为无理数

证明：假设√2时有理数
则有√2=p/q(p,q为互质正整数）
所以√2q=p
2q∧2=p∧2
因为2q∧2是偶数，所以p∧2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设p=2s代入上式：
2q∧2=4s∧2
q∧2=2s∧2
所以q也是偶数。这样，p和q都是偶数，不互质，与假设矛盾。
所以√2不能写成分数形式，即√2不是有理数，是无理数。

无理数，