偶函数关于原点的对称区间的单调性相反的证明

f为偶函数，f(x)=f(-x)
不妨设f在x>0时单调增
当0<x1<x2时，-x2<-x1<0
f(-x2)=f(x2)>f(x1)=f(-x1)
即f在x<0时单调减
g为奇函数，g(x)=-g(-x)
设g在x>0时单调增
当0<x1<x2时，-x2<-x1<0
g(-x2)=-g(x2)<-g(x1)=g(-x1)
即g在x<0时单调增

设y=f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)
若x1>x2>0,则-x1<-x2<0
不妨设f(x)在正半轴上单调递增,则f(x1)>f(x2),所以f(-x1)>f(x2),即f(x)递减
同理可证f(x)在正半轴为减函数则负半轴为增函数
证毕!

奇函数关于原点的对称区间的单调性相同,类似上面可证.