已知：在三角形ABC中，分别以AB,AC为斜边做等腰直角三角形ABM,和三角形CAN，P是边BC的中点。求证：PM=PN

好麻烦的。
取AB、AC的中点D、E
连接MD、DP、NE、EP。得三角形MDP和三角形NEP，证明它们全等。

因为 D、P、E是各边中点，所以PE、PD是中位线。
所以PD平行且等于1/2AC，PE平行且等于1/2BC，
所以角BDP等于角BAC等于角PEC

在等腰直角三角形ABM,和三角形CAN中，角MDB、角NEC均为90度，
所以角BDP+角MDB=角PEC+角NEC
即角MDP=角NEP

根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以
MD=1/2AB，EN=1/2AC
(上面证明出：PD平行且等于1/2AC，PE平行且等于1/2BC)

所以MD=PE,EN=PD

所以三角形MDP和三角形NEP全等
所以PM=PN

你画好图，跟我作图，
解：作MD⊥AB于D，NE⊥AC于E。显然D、E分别为AB、AC中点。连结PD、PE，则PD、PE为三角形的中位线。
MD=AD=1/2AB=PE。
PD=1/2AC=AE=NE。
ADPE为平行四边形，角ADP=角AEP。
所以角ADP+90度=角AEP+90度
即角MDP=角PEN
可证三角形MDP≌三角形PEN
所以PM=PN。