函数f(x)=2x/x+2,设数列{xn}满足X(n+1)=f(Xn),且X1>0,求证:数列{1/Xn}是等差数列

X(n+1)=2xn/(xn+2)
两边转化为倒数
得到1/X(n+1)=(xn+2)/2xn
1/X(n+1)=1/2+1/xn
1/X(n+1)-1/xn=1/2
公差为1/2的等差数列

由题目中条件 ：X(n+1)=f(Xn）
可知:X(n+1)=2X(n)/(X(n)+2)
那么 1/X(n+1)=(X(n)+2)/2X(n)=1/2+1/X(n)
会有1/X(n+1）-1/X(n)=1/2
则会有对于数列{1/Xn}，后一项减前一项是定值，那么数列{1/Xn}就 是公差为1/2的等差数列，

X(n+1)=2Xn/Xn+2
所以1/X(n+1)=(Xn+2)/2Xn
1/X(n+1)=1/2+1/Xn
1/X(n+1)-1/Xn=1/2