试证:适合等式xy+yz+zx=1的x,y,z不能满足xyz=x+y+z

由xy+yz+zx=1得：
xy=1-yz-xz
由xyz=x+y+z得：
xy=x/z+y/z+1
则1-yz-xz=x/z+y/z+1
-yz-xz=x/z+y/z
x/z+y/z+yz+xz=0
假设xyz不为0 （易证假设xyz为0不成立，从略）
x+y+yz^2+xz^2=0
y(1+z^2)+x(1+z^2)=0
(1+z^2)(x+y)=0
在实数范围内(1+z^2)不为0
则x+y=0
代入xyz=x+y+z得
xyz=z
xy=1,在实数范围内与x+y=0不符
等式xy+yz+zx=1的x,y,z不能满足xyz=x+y+z

反证法：

xy+yz+zx=1,两边同乘以z，移项 得 xyz=z-z^*(x+y)

假设xyz=x+y+z成立，

则有x+y+z=z-z^*(x+y),

即 -z^*(x+y)=x+y,

1.若x+y=0,则xy≠1 由xyz=x+y+z，得z=0，不满足xy+yz+zx=1

2.若x+y≠0，则 由 -z^*(x+y)=x+y, 得

z的平方=-1,与z为实数相矛盾。

综上可知，适合等式xy+yz+zx=1的x,y,z不能满足xyz=x+y+z

你的提问不严密，应该是：适合等式xy+yz+zx=1的x,y,z不一定满足xyz=x+y+z。因为xyz=x+y+z当xyz不等于0时等价于1/x+1/y+1/z=1。所以只要xyz=1时，适合等式xy+yz+zx=1的x,y,z一定满足xyz=x+y+z。你所说的不能无法达到。
那要证明不一定满足的话只要举个反例就行了，很好举的啦
x=0,y=1,z=1就可以，于是得证。
这是我所理解的你的提问的回答，不知道是不是你想要的。

xy+yz+zx=1等式两边平方，试试