求所有能使n2/200n-999为正整数的正整数n

令d=(N,999),N=nd,999=md
N^2/(200N-999)=n^2d/(200n-m)
不难证k=(n^2,200n-m)=1(否则(N,999)=kd)
故(200n-m)|d
999=3^3*37
d的可能取值为1.3.9.27.37.111.333.999
此时m=999.333.111.37.27.9.3.1
分别得n=5.X.X.X.X.X.X.5(X表示无整数解)
故有2个解5和5*999=4995

nn/(200n-999)为正整数

n-5=m
n>=1
m>=－4

nn/(200n-999)=(m+5)^2/[200m+1]
a|b表示
b能被a整除
如果a>0
b>0
b>=a

200m+1 | mm+10m+25
200m+1 | 200mm+2000m+50000
200m+1 | 200mm+m+1999m+50000
200m+1 | 1999m+50000
200m+1 | 49990-m
200m+1<=49990-m
m<=248

200m+1 | 49990-m
200m+1 | 49989－201m
m<=248
49989－201m>0
200m+1 <=49989－201m
m<=124
200m+1 | mm+10m+25
200m+1<=mm+10m+25
mm-190m+24>=0
m>=190

m<=124
m>=190 矛盾
所以这到题无解

设:n2/200n-999=K
n2=200nK-999K
n2-200nK=-999K
n2-200nK+100