a b c为不相等的有理数 求证

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 05:30:01
根号下（1/(a-b)^+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2）为有理数

设a=p1/q,b=p2/q,c=p3/q, p1，p2,p3两两不等，则
1/(a-b)^+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2
=q^2/(p1-q1)^2+q^2/(p2-p3)^2+q^2/(p3-p1)^2
=q^2[(p2-p3)^2(p3-p1)^2+(p1-p2)^2(p3-p1)^2+(p1-p2)^2(p2-p3)^2]/(p1-p2)^2(p2-p3)^2(p3-p1)^2
所以只要证明(p2-p3)^2(p3-p1)^2+(p1-p2)^2(p3-p1)^2+(p1-p2)^2(p2-p3)^2是完全平方数即可。
设x=p1-p2,y=p2-p3,z=p3-p1=-x-y
则x^2y^2+x^2(x+y)^2+y^2(x+y)^2
=x^2y^2+(x+y)^2(x^2+y^2)
=x^2y^2+(x+y)^2(x^2+2xy+y^2-2xy)
=x^2y^2-2xy(x+y)^2+(x+y)^4
=[(x+y)^2-xy]^2
=(x^2+xy+y^2)^2是完全平方数，所以原式一定是有理数。
证毕！

额，看错了

a+b≠2 求证（a+b-2c)x^2+(b+c-2a)x+(c+a-2b)=0的两根必为有理数 已知a,b,c为三角形ABC的三边,求证bx²+2(a-c)x-(a+b-c)=0有两个不相等实数根 设a.b为两个不相等的正数.求证:(a^2+b^2)*(a^4+b^4)>(a^3+b^3)^2 a,b为不相等的正数,且a,b立方差等于a,b平方差,求证1<a+b<4/3 “a,b,c,d都为有理数”中的“有理数”是什么意思？ 已知a,b,c为不相等的正整数,且a^2+b^3=c^4,求c的最小值。 △ABC的三边为a,b,c,求证：a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)>=3 已知a，b，c，为不全相等的正数，求证,b+c-a/a+c+a-b/b+a+b-c/c>3 已知三个不相等的有理数，既可表示1，a+b,a的形式，又可以表示为0，b/a,b的形式，求a的立方加b的立方的值 若a,b,c为非零有理数，且a+b+c=0,试求|a|b/a|b|+|b|c/b|c|+|c|a/c|a|的值。（要过程）