高手→数学证明

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 18:23:35
对定义域为R的f(x),有f(a*b)=a*f(b)+b*f(a)且|f(x)|不大于1,
求证f(x)恒为零

此题出自清华大学
证明：
f(a*b)＝a·f(b)+b·f（a），
f(0)=f(2*0)=2*f(0)+0*f(2)=2*f(0),f(0)=0.
对x≠0，定义g(x)=f(x)/x,
g(ab)=f(ab)/ab=f(a)/a+f(b)/b=g(a)+g(b).
于是g(2x)=g(x)+g(x)=2g(x),
g(3x)=g(x)+g(2x)=3g(x),
可归纳地证明对任何n∈N+,g(nx)=ng(x),
n|g(x)|=|ng(x)|=|g(nx)|≤1,|g(x)|≤1/n,
所以g(x)=0.
f(x)=0.

楼上是自己的吗？是的话我就佩服的57头地！！！