证明三个连续自然数的积不是平方数

设三个连续自然数中间一个数为N，据题意则有(N-I)N(N+1)化简=N(N-I)(N+1)=N(N^-1)
N(N^-1)不可能是平方数

假设三个连续自然数的积是平方数
设这三个连续自然数是n-1,n,n+1，设n有一个质因数p，
则(n-1)n(n+1)是p的偶数次方的倍数
n-1和n+1都与n互质，都没有p这个质因数，所以n是p的偶数次方的倍数
由于p的任意性，所以n是一个平方数，
因为(n-1)n(n+1)是一个平方数，所以(n-1)(n+1)也是一个平方数
而(n-1)(n+1)=n^2-1，没有两个相邻的平方数，所以矛盾
所以三个连续自然数的积不是平方数

直接证明即可，因为任何一个完全平方数都是9n或3n+1的形式，这是因为n≡1或2(mod3)时n^2≡1(mod3)，n≡0(mod3)则n^2≡0(mod9)
但是6整除n(n+1)(n+2)，所以n(n+1)(n+2)一定不是平方数。
证毕！