证明题-求解

已知a,b都是正数,x,y∈R，且a+b=1，求证 ax^2+by^2≥(ax+by)^2

要证
(ax^2+by^2)(a+b)≥(ax+by)^2
要证
(ax)^2+(by)^2+ab(x^2+y^2)≥(ax)^2+(by)^2+2abxy=(ax+by)^2
要证
x^2+y^2>=2xy
显然！

(ax+by)^2－(ax^2+by^2)＝(a^2-a)x^2+(b^2-b)y^2+2abxy=a(a-1)x^2+b(b-1)^2+2abxy
a-1=b;b-1=a带入上式
上式＝-ab(x^2+y^2)+2abxy=-ab(x-y)^2
因为a和b都是整数，只有以下几种情况
a和b中有一个等于0，这样两式相等
a和b一正一负，即ab<0，这样上式大于0.
所以得证。

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