函数问题,要详细的过程

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 16:37:50
1.已知f(x)是二次函数,切f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1
(1)求f(x)表达式 (2)若f(x)>a在[-1,1]恒成立,求a取值范围
2.设函数f(x)对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)
且x>0时f(x)<0 f(1)=-2 (1)求证:f(x)为奇函数 2)试问在 -3≤x≤3时 f(x)是否有最值,若有,求最值,若没有,说明理由
3)解不等式 1/2f(bx2)-f(x)>1/2f(b的平方x)-f(b) (b2不等于2)

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解:设f(x)=ax^2+bx+c

∵f(0)=1

∴c=1

∴f(x)=ax^2+bx+1

∴f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+1=ax^2+(2a+b)x+a+b+1

∴f(x+1)-f(x)=ax^2+(2a+b)x+a+b+1-ax^2-bx-1=2ax+a+b

∵f(x+1)-f(x)=2x

∴2ax+a+b=2x

∴2a=2且a+b=0

∴a=1,b=-1

∴f(x)=x^2-x+1

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下面尝试证明问题(3)：
设x=1,y=-1，则f(0)=f(1)+f(-1)+1
又f(0)=-1,f(1)=0，所以 f(-1)=-2
1、下面证明，当0<x<1时，f(x)>-1
设1<x<2,因此0<x-1<1
f(x-1)=f(x)+f(-1)+1=f(x)-1
由于x>1,f(x)>0,因此 f(x-1)>-1
也就是：当0<x<1时，f(x)>-1
2、对于x>=1,f(x)>=0
所以x>0,f(x)>-1
3、设k>0，对于任意x1,x2=x1+k>x1
f(x2)=f(x1+k)=f(x1)+f(k)+1
f(x2)-f(x1)=f(x1+k)-f(x1)=f(k)+1>-1+1=0
因此，对于x2>x1,f(x2)>f(x1)
所以，f(x)是R上的增函数。

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（3）12f(bx2)-f(x)＞12f(b2x)-f(b)?f(bx2)-2f(x)＞f(b2x)-2f(b)?f(bx2)+2f(b)＞f(b2x)+2f(x).
∵2f(x)=f(x)+f(x)=f(2x),
∴f(bx2)+f(2b)＞f(b2x)+f(2x)?f(b2x+2b)＞