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a^2+b^2=8c+6

(1)若a、b一奇一偶，则a^2+b^2为奇数，8c+6为偶数，不成立
(2)若a、b都是偶数，则偶数的平方能被4整除，但8c+6=2(4c+3)不能被4整除，不成立
(3)若a、b都是奇数，则奇数的平方除以8的余数为1，a^2+b^2除以8的余数为2，但8c+6除以8的余数为6，不成立

因此不存在这样的a、b、c。

补充：关于“奇数的平方除以8的余数为1”
设奇数x=2y+1
则x^2=(2y+1)^2
=4(y^2+y) + 1
=4y(y+1) + 1
y、y+1是连续整数，必有1个是偶数，因此4y(y+1)能被8整除
所以奇数x的平方除以8的余数为1