已知a,b为正数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求证a2/x+b2/y>=（a+b）2/x+y

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 06:25:56
已知a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),
1.求证a2/x+b2/y>=（a+b）2/x+y，并指出等号成立的条件。
2.利用1的结论求函数f(x）=2/x+9/(1-2x)(x∈(0,1/2))

其中：a2,b2,(a+b)2 的2均为平方
a2/x为一个分式

a^2/x+b^2/y-(a+b)^2/(x+y)

=[a^2y(x+y)+b^2x(x+y)-xy(a+b)^2]/[xy(x+y)](将上式通分）

分母部分
=a^2xy+a^2y^2+x^2b^2+b^2xy-a^2xy-2abxy-b^2xy
=a^2y^2+x^2b^2-2abxy
>=2√（a^2y^2*x^2b^2)-2abxy
=2abxy-2abxy=0

所以证明成立
等号成立当且仅当ay=bx

2)f(x)=2/x+9/(1-2x)
=4/(2x)+9/(1-2x)
>=(2+3)^2/(2x+1-2x)=25

等号成立当且仅当
2(1-2x)=3*2x
x=1/5

即f(x)>=25