x+y+z=1 求证yz+zx+xy-9xyz>=0
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/31 16:24:21
x+y+z=1 求证yz+zx+xy-9xyz>=0 柯西不等式以外的方法.谢谢.
题目错了.应该加上x,y,z都是非负数(不然当x=-2,y=4,z=-1时不成立).
易知,当x,y,z中有1个或2个是0时,不等式成立;
当x,y,z都是正数时,xyz>0,
所以(yz+zx+xy)/(9xyz)
=1/(9x)+1/(9y)+1/(9z)
=(x+y+z)/(9x)+(x+y+z)/(9y)+(x+y+z)/(9z)
=(1/9+1/9+1/9)+[y/(9x)+x/(9y)]+[z/(9x)+x/(9z)]+[z/(9y)+y/(9z)]
>=1/3+2*1/9+2*1/9+2*1/9
=1,
所以yz+zx+xy>=9xyz,
即yz+zx+xy-9xyz>=0.
有点难度~~
用“算术平均值>=几何平均值”,即a+b+c>=3(abc)^(1/3) 应该可以吧。
yz+zx+xy=(x+y+z)(yz+zx+xy)=3xyz+(xxy+yyz+zzx+xyy+yzz+zxx)
xxy+yyz+zzx>=3(xxy·yyz·zzx)^(1/3)=3xyz
xyy+yzz+zxx>=3(xyy·yzz·zxx)^(1/3)=3xyz
所以yz+zx+xy>=3·3xyz=9xyz
如果a+b+c>=3(abc)^(1/3)都不能用,那就用更基本的a+b>=2√ab
xxy+yzz>=2√(xxy·yzz)=2xyz
yyz+zxx>=2√(yyz·zxx)=2xyz
zzx+xyy>=2√(zzx·xyy)=2xyz
所以yz+zx+xy>=3xyz+2·3xyz=9xyz
已知:x2+y2+z2=xy+yz+zx,求证:x=y=z。
解方程x+1=y+yz &y+1=z+zx&z+1=x+xy 其中x y z为正实数
设x、y、z为正数,x^2+y^2+z^2=1,求S=xy/z+yz/x+zx/y的最小值。
设x,y,z>0,x^2+y^2+z^2=1,求xy/z+yz/x+zx/y的最小值.
数学题:分式化简(x^2+yz)/(x^2+(y-x)x-yz)+(y^2-zx)/(y^2+(z+x)y+zx)+(z^2=xy)/(z^2-(x-y)z-xy)
已知x,y,z为整数,xy+yz+zx=0,a,b,c是不等于1的正数,且满足a^x=b^y=c^z=0,求证:abc=1
x,y,z为实数,且xy/x+y=1/3,yz/y+z=1/4,xz/x+z=1/5,求xyz/xy+yz+zx的值
已知XY/(X+Y)=1,YZ/(Y+Z)=2,ZX/(Z+X)=3,则X的值是多少
已知xyz=1,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=16.求1/9xy+2z)+1/(yz+2x)+1/(zx+2y)的值
解方程组xy/x+y=2 yz/y+z=4 zx/z+x=5