一道高二数学题(12)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 18:44:56
已知a,b为不相等的正数，且a^3-b^3=a^2-b^2．求证1<a+b<4/3

请用高二数学知识解 要详细过程 谢谢！

a3-b3=a2-b2
(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b)
因为a不等于b
所以a2+ab+b2=a+b
(a+b)2-(a+b)=ab<(1/4)*(a+b)2
令a+b=t，得
3t^2-4t<0
解不等式得
0<t<3/4
因为a^2+ab+b^2＝a+b，化简后（a+b)(a+b-1)=ab,a+b-1=ab/(a+b)>0,所以a＋b>1

综上所述1<a+b<4/3

两边分解因式约去a-b
得到a^2+ab+b^2=a+b
左面配方(a+b)^2+ab=a+b
ab=a+b-(a+b)^2<=((a+b)/2)^2
解出1<a+b<4/3