设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)

1,设x=-y
则有f(0)=f(x)+f(-x)
再设，x=o,y=o
f(0)=f(0)+f(0),推得f(0)=0
故f(x)=-f(-x),所以是奇函数。
2，设x>y>0则有x+y>0,故f(x+y)>0
f(x+y)=f(x)+f(y)>0
f(x)>-f(y),因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x),
故-f(-x)>-f(y),f(-x)<f(y),因为-x<y∈R
所以f(x)在R上是增函数。

f(0+0)=f(0)+f(0)得f(0)=0
再从0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)知f 是奇函数。

如果a>b,则a-b>0,由条件f(a-b)>0,则由f(a)=f(b+a-b)=f(b)+f(a-b)>f(b)得
f是R上的增函数