高二不等式的证明

证：
X=√1·2+√2·3+...+√n(n+1)>√1·1+√2·2+...+√n·n

√1·1+√2·2+...+√n·n =1+2+...+n=n(n+1)/2

所以x>n(n+1)/2

X=√1·2+√2·3+...+√n(n+1)<√2·2+√3·3+...+√(n+1)(n+1)

√2·2+√3·3+...+√(n+1)(n+1)=2+3+...+(n+1)

2+3+...+(n+1)=1+2+...+n+n=n(n+1)/2+n=n(n+2)/2

所以 X<n(n+2)/2

所以 n(n+1)/2<X<n(n+2)/2

X〉√1x1+√2x2+√3x3+......=1+2+3+.....+n=n(n+1)/2
X〈（1+2）/2+（2+3）/2+（3+4）/2+....+(n+n+1)/2=1+2+3+...+n+1-(1+n+1)/2=(1+n+1)(n+1)/2-(n+2)/2=n(n+2)/2
手都打酸了

数学归纳法

√1×2<(1+2)/2=3/2
√2×3<(2+3)/2=5/2
√3×4<(3+4)/2=7/2
......
......
√n(n+1)<[n+(n+1)]/2=(2n+1)/2
上面各式相加得
√1×2+√2×3+√3×4+...+√n(n+1)
<(1/2)[3+5+7+...+(2n+1)]
=(1/2)[3+(2n+1)]n/2
=n(n+2)/2

√1×2>1
√2×3>2
√3×4>3
......
......
√n(n+1)>n
上面各式相加得
√1×2+√2×3+√3×4+...+√n(n+1)
>1+2+3+...+n
=n(n+1)/2

综合得，n(n